matematica vs trigoOnometria: trigonometria inversa

Las funciones trigonométricas

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

[editar] Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$ , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "senos" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

$\operatorname {sen} \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

$\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

$\tan\alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}$

[editar] Razones trigonométricas recíprocas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc \alpha = \frac{1}{\operatorname {sen} \; \alpha} = \frac{c}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\csc \alpha = \overline{AG}$

La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec \alpha = \frac{1}{\operatorname {cos} \; \alpha} = \frac{c}{b}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\sec \alpha = \overline{AD}$

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\cot \alpha = \overline{GF}$

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar] Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:
El seno cardinal o función sinc (x) definida:

$\operatorname {sinc} \; (x) = \frac{\sin(x)}{x}$

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:

$\operatorname {versen} \; \alpha = 1 - \cos \alpha$

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:

$\operatorname {semiversen} \; \alpha = \frac {\operatorname {versen} \; \alpha }{2}$

El coverseno,

$\operatorname {coversen} \; \alpha = 1 - \operatorname {sen} \; \alpha$

El semicoverseno

$\operatorname {semicoversen} \; \alpha = \frac { \operatorname {coversen} \; \alpha }{2}$

El exsecante:

$\operatorname {exsec} \; \alpha = \sec \alpha - 1$

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

$y= \operatorname {sen} \, x \,$

y es igual al seno de x, la función inversa:

$x = \operatorname {arcsen} \; y \,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:

$y= \cos x \,$

y es igual al coseno de x, la función inversa:

$x = \arccos y \,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:

$y= \tan x \,$

y es igual al tangente de x, la función inversa:

$x = \arctan y \,$

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

$A \equiv O$

a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo $\alpha \,$ sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:

$\frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}$

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia $\overline{OE}$ y $\overline{OB}$ son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\operatorname {sen} \alpha = \overline{CB} \,$

$\cos \alpha = \overline{OC} \,$

$\tan \alpha = \overline{ED} \,$

tenemos:

$\frac{\operatorname {sen} \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

[editar] Primer cuadrante

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo $\alpha \,$ .
Para $\alpha = 0 \,$ , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

$\operatorname {sen} 0 = 0 \,$

$\cos 0 = 1 \,$

$\tan 0 = 0 \,$

Si aumentamos progresivamente el valor de $\alpha \,$ , las distancias $\overline{CB}$ y $\overline{ED}$ aumentarán progresivamente, mientras que $\overline{OC}$ disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.
Los segmentos: $\overline{OC}$ y $\overline{CB}$ están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero $\overline{ED}$ no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo $\alpha = 0,5 \pi \,$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia $\overline{ED}$ será infinita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

$\operatorname {sen} \frac{\pi}{2} = 1 \,$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,$

$\tan \frac{\pi}{2} = \infty \,$

Cálculo de algunos casos

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:
para el seno:

$sen \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} = \overline{EF}$

dado que:

$\overline{OF} = 1$

Para el coseno:

$cos \; \alpha = \cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} = \overline{OE}$

dado que:

$\overline{OF} = 1$

Para la tangente:

$tan \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OE}} = \cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} = \overline{AG}$

dado que:

$\overline{OA} = 1$

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

[editar] Para 90-α

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo conocidas las de α serán:
El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90-\alpha) = cos \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90-\alpha) = sen \; \alpha$

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}$

[editar] Para 90+α

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α. La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.
El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90+\alpha) = cos \; \alpha$

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90+\alpha) = -sen \; \alpha$

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}$

[editar] Para 180-α

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo en O es α, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180-\alpha) = sen \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180-\alpha) = -cos \; \alpha$

En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180-\alpha) = -tan \; \alpha$

[editar] Para 180+α

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180+\alpha) = -sen \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180+\alpha) = -cos \; \alpha$

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180+\alpha) = tan \; \alpha$

[editar] Para 270-α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270-\alpha) = -cos \; \alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270-\alpha) = -sen \; \alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}$

[editar] Para 270+α

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonométrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270+\alpha) = -cos \; \alpha$

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270+\alpha) = sen \; \alpha$

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}$

[editar] Para -α

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

$\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (-\alpha) = -sen \; \alpha$

en el mismo triángulo OEF tenemos:

$\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (-\alpha) = cos \; \alpha$

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

$\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (-\alpha) = -tan \; \alpha$

[editar] Identidades trigonométricas

Artículo principal: Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:

[editar] Recíprocas

$\operatorname {sen} (\alpha) \cdot \csc (\alpha) = 1$

$\operatorname {cos} (\alpha) \cdot \sec (\alpha) = 1$

$\operatorname {tan} (\alpha) \cdot \cot (\alpha) = 1$

[editar] De división

$\tan (\alpha) = \frac {\operatorname {sen} (\alpha)}{ \cos (\alpha)}$

[editar] Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la función que:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

de la figura anterior se tiene que:

$\operatorname {sen} (\alpha ) = \frac {a}{c}$

$cos (\alpha ) = \frac {b}{c}$

por tanto:

$\operatorname {sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \bigg(\dfrac {a}{c}\bigg) ^2 + \bigg(\frac {b}{c}\bigg)^2 = \frac {a^2 + b^2 }{c^2} = \frac {c^2}{c^2} = 1$

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica:

$\operatorname {sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,$

que también puede expresarse:

$\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \,$

$1+\cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha \,$

[editar] Suma y diferencia de dos ángulos

$\operatorname {sen}(\alpha + \beta) = \operatorname {sen} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname {sen} \beta \,$

$\operatorname {sen}(\alpha - \beta) = \operatorname {sen} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname {sen} \beta \,$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta \,$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta \,$

$\begin{align} & {\mathrm{\vdash}\cos{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{-}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{i}{\mathrm{)}}{Se}\;{parte}\;{de}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{-}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{ii}{\mathrm{)}}{Se}\;{deriva}\;{la}\;{igualdad}{\mathrm{,}}\;{entonces}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\frac{d}{dx}\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{-}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{d}{dx}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\frac{d}{dx}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}{\mathrm{(}}\mathrm{{-}}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{))}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\mathrm{\therefore}\;{queda}\;{demostrada}\;{la}\;{igualdad}{\mathrm{.}}}\\ & {} \end{align}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

[editar] Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos

$\operatorname {sen} \alpha + \operatorname {sen} \beta = 2\operatorname {sen} \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)$

$\operatorname {sen} \alpha - \operatorname {sen} \beta = 2\operatorname {sen} \left( \frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2\operatorname {sen} \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \operatorname {sen} \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

[editar] Producto del seno y coseno de dos ángulos

$\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) }{ 2}$

$\operatorname {sen}(\alpha) \operatorname {sen}(\beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) }{ 2}$

$\operatorname {sen}(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\operatorname {sen}(\alpha + \beta) + \operatorname {sen}(\alpha - \beta) }{ 2}$

$\cos(\alpha) \operatorname {sen}(\beta) = \frac{\operatorname {sen}(\alpha + \beta) - \operatorname {sen}(\alpha - \beta) }{ 2}$

[editar] Ángulo doble

$\operatorname {sen} 2\alpha = 2 \operatorname {sen}\alpha \cdot \cos \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \operatorname {sen}^2 \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \operatorname {sen}^2 \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = -1 + 2 \cos^2 \alpha \,\!$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

$\operatorname {sen}^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$

[editar] Ángulo mitad

$\operatorname {sen}\left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \,\!$

$\cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \,\!$

$\tan \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$

$\begin{align} & {\mathrm{\vdash}\tan{\mathrm{(}}\frac{u}{2}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{\sin\mathrm{(}u\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{i}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{parte}\;{de}\;\tan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{\sin\mathrm{(}x\mathrm{)}}{\cos\mathrm{(}x\mathrm{)}}{\mathrm{,}}\;{entonces}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\tan{\mathrm{(}}\frac{u}{2}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{\sqrt{\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{2}}}{\sqrt{\frac{{1}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{2}}}}\\ & {}\\ & {{ii}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{multiplica}\;{por}\;{uno}\;{para}\;{\mathrm{eliminar}}\;{las}\;{raices}\;{de}\;{dos}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\mathrm{\cdot}\frac{\mathrm{(}\tfrac{\sqrt{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}{\sqrt{2}}\mathrm{)}}{\mathrm{(}\tfrac{\sqrt{{1}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}{\sqrt{2}}\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\frac{\sqrt{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}{\sqrt{{1}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}}\\ & {}\\ & {{iii}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{multiplica}\;{otra}\;{vez}\;{por}\;{un}\;{uno}\;{para}\;{obtener}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\tan{\mathrm{(}}\frac{u}{2}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sqrt{\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{{1}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}\mathrm{\cdot}\sqrt{\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\sqrt{\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{{1}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}\mathrm{\cdot}\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\sqrt{\frac{{\mathrm{(}}{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{))}}^{2}}{{1}\mathrm{{-}}{\cos}^{2}{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}}}\\ & {}\\ & {{iv}{\mathrm{)}}\;{Utilizando}\;{sen}^{2}{x}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\cos}^{2}{x}{\mathrm{,}}\;{se}\;{obtiene}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\tan{\mathrm{(}}\frac{u}{2}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{\sqrt{{\sin}^{2}\mathrm{(}u\mathrm{)}}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\frac{{1}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}}{\sin\mathrm{(}u\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\mathrm{\therefore}\;{La}\;{igualdad}\;{queda}\;{demostrada}{\mathrm{.}}} \end{align}$

[editar] Otras identidades trigonométricas

$\operatorname {sen} \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) = \cos \alpha \,\!$

$\cos \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) = \operatorname {sen}\alpha \,\!$

$\operatorname {sen} (\pi - \alpha) = \operatorname {sen}\alpha \,\!$

$\cos (\pi - \alpha) = - \cos \alpha \,\!$

$\operatorname {sen} (2\pi - \alpha) = - \operatorname {sen} \alpha \,\!$

$\cos (2\pi - \alpha) = \cos \alpha \,\!$

$\operatorname {sen}\alpha \cdot \cos \alpha + \operatorname {sen}\beta \cdot \cos \beta = \operatorname {sen}(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta)$

$\begin{align} & {\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathit{\beta}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}}\\ & {}\\ & {\mathrm{\vdash}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathit{\beta}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}}\\ & {}\\ & {{i}{\mathrm{)}}\;{Usando}\;{cambio}\;{de}\;{variables}\;{tenemos}\;{que}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {{x}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{y}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{ii}{\mathrm{.}}{i}{\mathrm{)}}{Se}\;{opera}\;{con}\;{el}\;\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{),}}\;{entonces}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sin{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {{iii}{\mathrm{.}}{i}{\mathrm{)}}{Se}\;{obtiene}\;{el}\;{equivalente}\;{del}\;\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{):}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}{\sin}^{2}{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}{1}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\sin}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))]}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}\mathrm{\cdot}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\cos{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}}\\ & {}\\ & {{iii}{\mathrm{.}}{ii}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{obtiene}\;{el}\;{equivalente}\;{de}\;\cos{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\;{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}{\sin}^{2}{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}{1}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\sin}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))]}}}\\ & {}\\ & {{\cos}^{2}{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{(}}\mathit{\beta}\mathrm{\cdot}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}}\\ & {}\\ & {\cos{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}}\\ & {}\\ & {{ii}{\mathrm{.}}{ii}{\mathrm{)}}{Se}\;{sustituyen}\;{del}\;{paso}\;{iii}{\mathrm{)}}\;{el}\;\cos{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\;{y}\;{el}\;\cos\;{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{):}}}\\ & {}\\ & {\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}{\mathrm{\{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{))]}}\mathrm{\cdot}{\mathrm{(}}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}{\mathrm{)\}}}\mathrm{{+}}{\mathrm{\{(}}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}{\mathrm{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))]\}}}}\\ & {}\\ & {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\mathrm{\cdot}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}{\mathrm{]}}\mathrm{{+}}{\mathrm{[}}\mathit{\beta}\mathrm{\cdot}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}{\mathrm{]}}}\\ & {}\\ & {{iv}{\mathrm{)}}{Se}\;{obtiene}\;{el}\;\arcsin{\mathrm{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))],}}\;{para}\;{te}{\mathrm{rmin}}{ar}\;{la}\;{demostracion}{\mathrm{:}}}\\ & {}\\ & {\arcsin{\mathrm{[}}\sin{\mathrm{(}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{))]}}\mathrm{{=}}\;\arcsin{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\mathrm{\cdot}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathit{\beta}\mathrm{\cdot}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}{\mathrm{]}}}\\ & {}\\ & {\mathrm{\therefore}\;{queda}\;{demostrada}\;{la}\;{igualdad}{\mathrm{.}}} \end{align}$

Véase también: Sinusoide

[editar] Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

$\operatorname {sen} \alpha= \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}$

$\cos \alpha= \frac {e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}$

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

$\tan \alpha =\frac{1}{i} \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}} =\ {-i} \frac {e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}$

Siendo $i=\sqrt{-1}$ (también puede representarse como j).
Es preciso destacar, que todas las formulas trigonometricas anteriores, son derivadas del Teorema de Pitágoras.

matematica vs trigoOnometria

martes, 15 de febrero de 2011

trigonometria inversa

Las funciones trigonométricas

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[editar] Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos

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[editar] Seno y coseno, funciones complejas

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